1687年，在哈雷摩托（Halley）的煽动和大力支持下，不敢随便发布著作的牛顿（Newton）出版发行了他用时3年写出的数学课巨作《自然哲学的数学原理》，该书无论对于数学课或是物理学，都具备里程碑式的实际意义。
牛顿《自然哲学的数学原理》首版图书封面
大伙儿熟悉的“结构力学三大定律”、“万有引力定律”，及其“高等数学”的创造发明，都集中反映在Newton的《自然哲学的数学原理》一书里。
可是该书还有一个对高等数学危害长远的发觉，大伙儿却不一定了解。在《原理》第三篇的引理五“求根据随意个点的双曲线类曲线图”中，Newton以几何图形的方式得出、并简易证实了这一发觉——“牛顿插值公式”（Newton interpolation formula）。
《自然哲学的数学原理》中的“牛顿插值公式”
自然，在欧洲地区“牛顿插值公式”的发觉不只归属于Newton，同時期的格雷戈里（gregory）、莱布尼茨（ Leibniz）也拥有自主的发明权。为了更好地方便大伙儿迅速了解这一公式的主要用途和来由，大家应用当代标记来表明：
大家称作“插值公式”是由于依据已经知道的n个点获得的这一公式，可以用于类似的可能原函数在别的点的函数。就如同在这里n个点中间插入了一个较为接近原函数的值，这一作用与“线性拟合”相近，但不一样的是，“插值公式”中给定的n个点一定达到公式。
“插值公式”的证实不艰难，只应设
并将n 1个点的值逐一带到f(x)求出指数就可以。
Newton在这儿初次加入了“差商”的定义，差商指的是两个点中间纵轴之差比上横坐标轴之差，即△y/△x。
初中数学难以避免的会碰到这种新理念，但大家只需要多看一下，了解了也就习惯了。如今，对“插值公式”稍加转变。令“插值公式”中的c=△x,并让△x→0得，
这就是赫赫有名的泰勒等比级数（Taylor series）。
泰勒肖像
泰勒级数是牛顿插值公式的一个关键营销推广和应用，因为可以简单将无理函数转换为等比级数进行方式，泰勒级数在分析学产生初期的函数求导、求积中饰演了最重要的人物角色。
从“剖析”的角度计算正弦值
依据泰勒级数可以获得正弦函数公式y=sinx的等比级数展开式：
如下图，即使是取
，还可以比较好的可能y=sinx在（-90°，90°）中间的值。以18°的正弦值为例子，g(π/10)≈0.30902与sin(π/10)的值0.30901699...在小数位后5位才发生差距。
用y=g(x)来可能正弦函数公式
自然如果我们取的等比级数展开式的项数越多，获得的正弦值也就越精准。而融合当今电子计算机的强悍作用，我们可以迅速测算随意视角的充足准确的正弦值。泰勒级数的作用之强劲、全过程之简约确实令人震撼人心！
但必须表明一点，有关“正弦函数公式”的展开式，尽管大家常见以上“全微分”的办法来求得。可是在牛顿时期，则是根据更繁杂的方式——“積分”的办法来获得的。实际参照附则【1】。再向前好多个新世纪，印度数学家Mādhava最开始提供了正弦、余弦、正切值的等比级数展开式，只是当时的欧洲地区一位数学家并不了解。
总结一下，从“剖析”的视角处理“正弦值”问题，不仅可以同时测算正弦函数公式在任意角度处的近似值，并且使用方便、精准度有确保，在电子计算机普及化的今日，“正弦表”也是无关紧要。可是，初期的科学家就没这样好运，她们的每一次测算都离不了“弦表”，由于这也是她们解决信息的基本。既然这样，那初期一位数学家是如何计算“正弦值”并制作“正弦表”的呢？
“二次插值”公式法
还得再次提及数学课大伙儿Newton，他与gregory等一位数学家在欧洲地区最先看到了插值公式，但事实上插值公式的最开始发觉并不是在欧洲地区，反而是7时代初的我国。公年600年，元朝科学家刘焯（zhuo）创《皇极历》，并且用“二次插值公式”来测算日、月、五星的运作速率.
刘焯肖像
接着，也是在7新世纪，印度的中国数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta) 为了更好地探讨“*正弦”（这儿加*是因为与目前的“正弦”作区别，“*正弦”指的是弧所对正弦线应半弦值），在《肯达克迪迦》(Khandakh2dyaka，中文谐音）一书中也应用了“二次插值公式”。
婆罗摩笈多(Brahmagupta)
Brahmagupta最先列举了0°到90°每过15°的“#正弦值”，随后应用“二次插值公式”：
假如必须测算37°的正弦值，运用式子 37°=30° （7/15）15°，令a=30°，x=7/15，c=15°.则f(a)=*sin30°.....带到公式就可以。
几何图形法 三角公式 不等式
最终返回大家的老亲戚朋友——古希腊文化中国数学家托勒密Ptolemy这儿。在上一篇文章中，大家说到，Ptolemy的“弦表”是目前最开始的“正弦表”，其值指的是2α°弧所对弦长|BC|的值.
Ptolemy的“弦表”中的弦长|BC|
测算中Ptolemy取圆上为360等分，的半径为120等分。为免搞混，下边用# sinα°来表明Ptolemy的“弦值”，以差别于如今的sinα°。
操作步骤如下所示：
“弦表”制作流程
古希腊文化的数学著作大多数以几何图形方式展现，数学概念是几何图形的、数学课推论也是几何图形的。Ptolemy的作品也是如此，上边的推论全过程纪录在《至大论》(Almagest)一书里，篇数比较有限，不可以一一表明他们的实际计算全过程，但当你要再次思索下来，下边的3个问题会是一个好的立足点：
问题1：如何计算sin72°的值？
问题2：怎样用“托勒密定理”推论“正弦的和、差角公式”？
问题3：怎样用“托勒密定理”推论“半角公式”?
以上问题回答，可参照附则【2】
Ptolemy制作的“弦表”创建在几何图形——尤其是托勒密定理的根基上，而且早已拥有等额的于当代“正弦的和、差公式”、“半角公式”等三角公式，更弥足珍贵的是胆大的采用了“不等式”来靠近函数。后人的印度的、沙特阿拉伯一位数学家对他的方式、造就干了承继和发展趋势，逐渐转变成如今较为完善的“三角学”。
“正弦的和公式”
沙特阿拉伯一位数学家瓦法（Wafa）是第一个测算当代实际意义下的“正弦值”的人，他应用“不等式靠近法”定编了相对高度高精密的“正弦表”。在预估30′正弦非常值得情况下，应用了不等式：
最终测算获得sin30′≈0.008726536673.这一近似值精准到了小数位后9位。这在过去的“弦表”里是见不了的，没有错，Wafa创了纪录。
阿布·瓦法（Abū al-Wafāʾ，公年940-998年）
到这儿，大家对“弦表”的制做史详细介绍就告一段落了，三角学这门课程从归属于天文学，经历上千年后单独发展趋势并逐渐发展壮大，离不了一代代的数学课大师们的拼搏，让我们一起向这种杰出的勇士和继承者们献给！
附则：
【1】.高等数学的过程.William Dunham.人民邮电出版社.2012
【2】.全球数学课通史（上）.梁宗巨.辽宁教育出版社.2005. P438-440
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